如何推导等比数列求和公式？

等比数列是指一个数列中，每一项与其前一项的比值都相等的数列。此中，比值称为公比，凡是用q暗示。好比，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。

那么若何求一个等比数列的和呢？那就需要用到等比数列乞降公式，也称为等比数列乞降公式。

我们先来看一个简单的等比数列：1，2，4，8，16。

我们能够将那个等比数列写成如下形式：

a，aq，aq^2，aq^3，aq^4

此中，a为首项，q为公比，n为项数。

那么那个等比数列的和S能够暗示为：

S = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4

我们将那个等式两边同时乘以公比q，得到：

qS = aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5

将原式减去上式，得到：

S - qS = a - aq^5

化简得到：

S = a(1 - q^n) / (1 - q)

那就是等比数列乞降公式。

等比数列乞降公式能够用来计算肆意等比数列的和。好比，关于公比为2的等比数列1，2，4，8，16，我们能够利用公式：

S = 1(1 - 2^5) / (1 - 2) = 31

得到其总和为31。

需要留意的是，等比数列乞降公式只适用于公比不为1的等比数列。当公比为1时，该数列酿成了公役为0的等差数列，此时乞降公式无法利用。

此外，若是等比数列的项数n为无限大，那么等比数列的和也将趋近于无限大或无限小，此时等比数列乞降公式无法利用。