《星际穿越》（Interstellar）中外星球一小时为什么等于地球七年呢？

先说结论：假设巨浪星[1]处于扭转黑洞外的不变圆轨道上[2]，则当黑洞角动量趋势于理论允许的极大值时，原则上能够获得肆意大的时间膨胀系数[3]。

考虑Boyer-Lindquist坐标系中的Kerr时空度规（取 G=c=ℏ=1G=c=\hbar=1 的天然单元造）

ds2=−(1−2MrΣ)dt2−4Marsin2⁡θΣdtdϕ+ΣΔdr2+Σdθ2+(r2+a2+2Mra2sin2⁡θΣ)sin2⁡θdϕ2,\mathrm{d}s^2=-(1-\dfrac{2Mr}{\Sigma})\mathrm{d}t^2-\dfrac{4Mar\sin^2\theta}{\Sigma}\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi+\dfrac{\Sigma}{\Delta}\mathrm{d}r^2+\Sigma\mathrm{d}\theta^2+(r^2+a^2+\dfrac{2Mra^2\sin^2\theta}{\Sigma})\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2\,\ ,

此中 MM 是黑洞量量， a=J/Ma=J/M 是其单元量量的角动量， Δ=r2−2Mr+a2\Delta=r^2-2Mr+a^2 , Σ=r2+a2cos2⁡θ\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta 。该黑洞的事务视界由方程 Δ=0\Delta=0 的较大根给出：

r+=M+(M2−a2)1/2,r_+=M+(M^2-a^2)^{1/2}\, ,

由此不难看出只要 a≤Ma\leq M 时才存在黑洞（视界），不然则会招致裸奇点。我们将鄙人文中看到角动量 aa 的取值也是“巨浪星上一小时最多等于地球上几年”的限造因素。

下面我们跟从Bardeen et al. (1972) [4] 推导绕Kerr黑洞运动的测地线圆轨道，进而讨论如何让巨浪星上的一小时等于地球上的七年。起头计算之前我们起首要明白巨浪星和地球之间的比钟办法才气使时间膨胀的说法有意义。将地球抱负化为无限远处的静行不雅者，显然其固有时能够认同为坐标时 tt 。无妨令巨浪星上的不雅者每绕黑洞转一圈到不异位置时向地球发送一次光信号，并将时间膨胀因子定义为地球不雅者收到两次信号之间的固有时间隔与巨浪星不雅者发送两次信号之间的固有时间隔的比值。因为我们选择的坐标系具有关于 tt 平移的对称性（度规重量不含时，∂/∂t\partial/\partial t 是Killing矢量），不难看动身送信号的坐标时间隔与领受信号的坐标时间隔是相等的（推导过程拜见另一答复：学物理的学生能硬核到什么水平？），因而若是我们能求得巨浪星圆轨道四速的坐标时重量 γ=dt/dτ\gamma=\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau ，那就是由上述比钟计划给出的时间膨胀因子。

考虑有量量粒子在 θ=π/2\theta=\pi/2 赤道面内的测地线运动，操纵守恒量 E=−ptE=-p_t （总能量）和 L=pϕL=p_\phi （角动量）不难写出 tt 和 rr 重量的运动方程：

Σdtdτ=−a(aE−L)+(r2+a2)T/Δ,Σdrdτ=±(Vr)1/2,\begin{align} \Sigma \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=&-a(aE-L)+(r^2+a^2)T/\Delta\, ,\\ \Sigma \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}=&\pm(V_r)^{1/2}\, , \end{align}

此中 T=E(r2+a2)−LaT=E(r^2+a^2)-La ，径向等效势能定义为 Vr=T2−Δ[r2+(L−aE)2]V_r=T^2-\Delta[r^2+(L-aE)^2] 。留意到代求的时间膨胀因子能够暗示为

。γ=dtdτ=1Σ[−a(aE−L)+(r2+a2)T/Δ]。\gamma= \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=\dfrac{1}{\Sigma}\left[-a(aE-L)+(r^2+a^2)T/\Delta\right]\,。

如今考虑圆轨道，它满足 dr/dτ=0,Vr′(r)=0,\mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau=0\,, V_r(r)=0\,, 由此可确定守恒量的表达式

E=r3/2−2Mr1/2±aM1/2r3/4(r3/2−3Mr1/2±2aM1/2)1/2,L=±M1/2(r2∓2aM1/2r1/2+a2)r3/4(r3/2−3Mr1/2±2aM1/2)1/2,\begin{align} E =& \dfrac{r^{3/2}-2Mr^{1/2}\pm aM^{1/2}}{r^{3/4}(r^{3/2}-3Mr^{1/2}\pm 2aM^{1/2})^{1/2}}\,,\\ L =& \dfrac{\pm M^{1/2}(r^2\mp 2aM^{1/2}r^{1/2}+a^2)}{r^{3/4}(r^{3/2}-3Mr^{1/2}\pm 2aM^{1/2})^{1/2}}\, , \end{align}

此中在上的符号对应顺行（角动量和黑洞同标的目的）轨道，鄙人的对应逆行，下同。留意圆轨道 rr 的取值必需使以上两式的分母为实数，不然不存在圆轨道。另一方面，不变的圆轨道需要满足 Vr″(r)≤0V_r(r)\leq 0 ，由此可求得最小不变圆轨道的坐标半径 r≥rmsr\geq r_\mathrm{ms} （ms代表marginally stable）,

rms=M{3+Z2∓[(3−Z1)(3+Z1+2Z2)]1/2},r_\mathrm{ms}=M\{ 3+Z_2\mp[(3-Z_1)(3+Z_1+2Z_2)]^{1/2} \}\,,

此中

Z1=1+(1−a2/M2)1/3[(1+a/M)1/3+(1−a/M)1/3],Z2=(3a2/M2+Z12)1/2,\begin{align} Z_1 =& 1 + (1-a^2/M^2)^{1/3}[(1+a/M)^{1/3}+(1-a/M)^{1/3}]\,,\\ Z_2=&(3a^2/M^2+Z_1^2)^{1/2}\,, \end{align}

能够看出顺行轨道能够给出更小的环绕半径（和更大的时间膨胀因子，因为它离黑洞更近且环绕速度更快），因而以下我们舍去逆行解。留意到 rmsr_\mathrm{ms} 由黑洞角动量 aa 独一确定，而将 rms,E,Lr_\mathrm{ms}, E, L 带入 γ\gamma 表达式后时间膨因子（的上限）也将被 aa 独一确定，由此我们可做出以下两图

可见 a=0a=0 给出施瓦西黑洞的情形：最小不变圆轨道处于 r=6Mr=6M 处，而响应的时间膨胀因子只要 γ=2≃1.414\gamma=\sqrt{2}\simeq1.414 ，和

@寻风 的计算成果（星际穿越米勒的星球上一小时等于七年，若是库珀在米勒星球上放置一个同步摄像机，那么飞船上的人会看到啥？）一致；而 a→Ma\rightarrow M 时 γ\gamma 趋于无限大， rmsr_\mathrm{ms} 趋于MM 。

那么 aa 等于几时能够让 γ=7×365×24=61320\gamma=7\times365\times24=61320 （地球上七年的小时数）呢？解得

a/M≃1−10−13.8753≃1−10−14,a/M \simeq 1-10^{-13.8753}\simeq 1-10^{-14}, 和Kip Thorne在书里写的相吻合。

The Science of Interstellar, II-6，留意100 trillion = 10的14次方

此时的轨道坐标半径为 rms=1.00004Mr_\mathrm{ms}=1.00004M ，四舍五入就算是在Horizon 上了（不外Ref[4]指出了那只是坐标系的投影体例招致的表象，事实上那一轨道间隔视界的固有径向间隔还很远），无妨为那句片子台词点个赞：

Interstellar, Christopher Nolan (2014).

最初，我们验证一下男主提出的让空间站在更高轨道绕行黑洞从而避开“时间变革区”的计划能否可行。

令 a/M=1−10−13.8753a/M = 1-10^{-13.8753} ，能够画出此时其他圆轨道半径 rr 值对应的时间膨胀因子 γ\gamma 的图像：

可见 γ\gamma 随 rr 敏捷减小到 1010 以下，所以那确实是可行的（只要能找到适宜的变轨体例）。

参考^梁灿彬. 借片子《星际穿越》讲虫洞与黑洞[OL]. (2016-11-23) 北京师范大学. https://www.koushare.com/video/videodetail/14249^那也是片子的科学参谋Thorne, Kip. The science of Interstellar. WW Norton & Company, 2014 一书中的设定^相关于无限远不雅者而言。当然那依赖于注释中描述的比钟体例^Bardeen, James M., William H. Press, and Saul A. Teukolsky. "Rotating black holes: locally nonrotating frames, energy extraction, and scalar synchrotron radiation." The Astrophysical Journal 178 (1972): 347-370.