证明: 记A'=A^T(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0所以X1是A'AX=0的解.故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.(2)设X2是A'AX=0的解, 则A'AX2=0等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0所以有 (Ax2)'(Ax2)=0所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]所以X2是AX=0的解.故A'AX=0的解是AX=0的解.综上知齐次线性方程组AX=0与A'AX=O是同解方程组.所以其根底解系所含解向量的个数不异故 r(A'A) = r(A)
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证明：用A'表达A的转置，假设AX=0，r(A'A)=r(A)，两边同时乘以A'；可得等式A'AX=0，可得方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解。假设A'AX=0，两边同时乘以X'；可得等式X'A'AX=0，即（AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=0，重视Y=AX为n维列向量，因而可设Y=(y1,y2,yn)'；则可得Y'Y=y1^2+。
。。+yn^2=0。因而y1=yn=0，即Y=AX=0，那阐明方程组A'AX=0的解都是方程组AX=0的解。因为AX=0和A'AX=0同解，所以可得r(A'A)=r(A)，即A的转置乘以A）的秩=A的秩。矩阵性量：矩阵的转置是矩阵的一种运算，在矩阵的所有运算法例中占有重要地位。
矩阵的转置和加减乘除一样，也是一种运算。将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素动身的右下方45度的射线做镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行酿成第一列，第二行酿成第二列，最末一行变成最末一列， 从而可得到一个新的矩阵N。
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