物理好难，音乐教师你快帮我补补课
做者：Marina Benjamin
翻译：loulou
审校：Automan-Ex
很小的时候，我就起头猎奇音乐与数学之间的关系了。我五岁摆布的时候，祖父为我拉小提琴，至今我仍记忆犹新。后来他通过本身的物理书从差别的角度向我阐了然那个问题，他本身年轻时也曾研究过那些问题。在关于声音的那一章里，有一个音符A，在它旁边是个数字440，那个数是那个音符的频次。那是我第一次意识到数字在音乐中所饰演的角色，那幅画面深深地印刻在我脑海中。固然我祖父的小提琴不在了，但他的音叉却保留了下来；虽然生锈了，它仍然以每秒440个周期的频次忠实地振动。比来我把它送给了我学冲击乐的孙子。我期看有一天他能把它传给他的孙子孙女们。
但仅仅研究音乐是不敷的：必需吹奏音乐。我用竖笛起头了我的音乐之旅。巴罗克时代有良多做品都是为那种简单的乐器而做的，但是为了赏识古典音乐(那里的“古典”指的是海顿、莫扎特和贝多芬的时代，大约在1750年到1830年之间)，竖笛是不可的，所以我拿起了单簧管。那种乐器是莫扎特最喜欢的管乐器，他为它写了一些他最出色的音乐，或者更切当地说，为他的伴侣单簧管吹奏家安东·斯塔德勒写的。单簧管有一个不通俗的特征，当你翻开乐器后背的拇指孔时，声音不会像大大都木管乐器那样上升一个八度，而是上升了12度一个八度加五度。那引起了我极大的兴致，使我对管乐器的声学产生了深入的根究。一根空气柱能够振动，产生一种像小提琴弦一样的音乐声音，虽然那种振动是完全处于无形之中的：你能听到它们，但你看不见它们。那一事实太令我沉迷，到如今也照旧如斯。
音乐和数学老是密切地交错在一路。任何玩过乐器的人都晓得曲谱上的每一页都有数学的踪迹——从设定乐曲节拍的时间标识表记标帜，到决定乐曲吹奏速度的节拍器数字；当然，吹奏音乐自己就要求我们数1、2、3……然后把那些数字分组，称为末节。因而，数学对音乐产生严重影响也就层见迭出了。更不为人知的是，那种影响是双向的。
活泼于公元前6世纪的古希腊哲学家毕达哥拉斯可能是第一个发现音乐和数学之间定量关系的人。通过对绷紧的弦停止尝试，他发现把一根弦的有效长度缩短到本来长度的一半时，就能把调子进步一个八度。其他弦长度的比例产生更小的音程：2/3对应的是第五个音符的音程(之所以那么喊，是因为它是从基音符向上的第五个音符)，3/4对应于第四个，等等。毕达哥拉斯还发现，将两个比率相乘就等于将它们的区间相加：(2/3)x(3/4) = 1/2，所以第五音符的音程加上第四音符刚好等于一个八度。在此过程中，他不知不觉地提出了汗青上第一个对数定律。
一个八度中，第五度和第四度产生了悦耳的调子或辅音组合，然而更冗杂的比例，如9：8或15：16，会招致不协调的调子。那一发现给毕达哥拉斯学派留下了深入的印象，促使他们相信宇宙中的一切——从音乐协调的法例到太阳、月亮和五大行星的运动——都是由简单的整数比例掌握的。“数字收配宇宙”是毕达哥拉斯的座右铭。在接下来的两千年里，它将主导科学思惟。
古希腊传统中，音乐的地位与算术、几何和天文学相当，和那三门学科加在一路构成了“四艺”，那是一个有学问的人应该掌握的四门学科的核心课程。然而，我们应该重视到，“算术”一词对毕达哥拉斯学派的意义与今天差别：它的意思是数论，研究整数的性量，而不是用数字计算所需的现实技巧。同样，毕达哥拉斯学派认为四艺中的音成功分是指音乐理论——对协调的研究，而不是吹奏音乐的理论。那是毕达哥拉斯学派看待一实在际事物都持冷漠立场的典型表示。他们的世界是一个完美的宇宙，由美、对称与协调所收配。
虽然毕达哥拉斯的著做没有传播下来，但是“数字收配宇宙”成为一代又一代科学家和哲学家的座右铭，他们筹算用音乐的比例或简单高雅的几何图形来阐明宇宙的奥秘。例如，行星必需以完美的圆形轨道绕地球运行；关于古希腊人来说，除了完全对称的圆之外，任何外形都是不成想象的。那都是他们对一个由美与协调所构成的宇宙的浩荡看点之一——他们的“音乐宇宙”，或者说是天体的音乐。
在最初一批毕达哥拉斯学派中，闻名的德国天文学家约翰内斯·开普勒(1571-1630)是现代天文学之父之一。开普勒是一位热诚的神异主义者，同时也是哥白尼日心说的忠实信徒。他花了大半生的时间，筹算从音乐的协调中推导出行星运动的法例。他认为，每颗行星在围绕太阳运动时，城市发出频次低于我们可听到的频次范畴的声音(更不消说它是在声音无法传布的实空中产生的)。他以至为每颗行星指定一首天籁之音，并把它写在曲谱上——复兴了闻名的“音乐宇宙”。颠末几十年的摸索，开普勒毕竟舍弃了希腊的圆形轨道，代之以椭圆轨道。
每个周期函数都能够写成正弦或余弦函数的线性组合
在开普勒之后的半个世纪后，牛顿提出了万有引力定律，从而为行星轨道供给了一个理性的数学阐明，并在天体可能的轨道上添加了抛物线和双曲线。但他也痴迷于音乐的比例，设想了一种“回文音阶”，在那种音阶中，无论向上仍是向下，音程都是不异的：9：8、16：15、10：9、9：8、10：9、16：15、9：8。他将其与光谱中的七种彩虹颜色停止了比力。
牛顿和莱布尼茨在1666年至1676年的十年间别离独立开发的微分和积分学，使把数字比例和音乐协调之间的关系成立在坚实的数学根底上成为可能。微积分可以处理的一个典型问题是找到振动弦确实切外形和它发出的声音的性量。它是无限多个有本身独立频次和振幅的正弦波或纯音的叠加吗？或者是沿着弦的长度往返传布的波的组合？在后来被称为“伟大的弦争论”中，欧洲四位最重要的数学家——丹尼尔·伯努利、莱昂哈德·欧拉、让·勒隆德·达朗贝尔和约瑟夫·路易斯·拉格朗日——就那个问题展开了猛烈的争论，并在此过程中奠基了后微积分阐发的根底。
但曲到半个世纪后，闻名的法国数学物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶(1768 - 1830)才提出：每一个遭到必然的限造的周期函数，都能够写成无限个纯正弦或余弦函数的线性组合，而且那些正弦或余弦函数的频次是最小频次的整数倍。那些独立的正弦波被称为泛音或谐波；它们是所有声音的构成部门，它们付与每一种声音特有的音色或音量——那让我们能够区分小提琴和单簧管声音，即便它们吹奏的是统一个音符。
跟着对音乐的兴致愈发深挚，我逐步走出巴洛克-古典-浪漫主义期间(大约1600年至1900年)，转向现代音乐。在20世纪60年代，仍然有良多关于阿诺德·勋伯格和他的无调性音乐的议论。他在20世纪初设想出了那类音乐，坚信它应该代替古典音乐的神圣基石：调性原则。调性要求一段音乐应该围绕一个给定的键，称为主音，如C大调或G小调。当然，跟着乐曲的开展，它可能会从指定的键偏离到相关键，以至是长途键，但最末它会回到主音。因而，琴键就像一个音乐参照系，每个音符都与主音有特定的关系；例如，在C大调的调式中，G(高于C的五分之一)为”主导音”，而C下的F为“次主导音”。但是在19世纪下半叶，做曲家们逐步不再严厉遵照调性原则，使得人们很难理解音乐与主音之间的关系。勋伯格认为调性的时日已尽，决心用“音列”来代替它。在一个音列中，半音音阶的12个音符每一个都只呈现一次；只要在那个音列完成之后，才气反复呈现上一个音列的音符。那给做曲家供给了数量惊人的组合抉择：1 x 2 x 3 x … x 12 = 479，001，600。在十二音乐系统中，民主主义有足够的表现：每一个音符都是公允的。每一个音符都只与系列中的前一个音符有关；差别音符在主音上所饰演的角色已经不复存在。它的核心是一个数学系统，勋伯格决心把它利用到音乐上。
1934年4月1日，利奥波德·戈多斯基、阿尔伯特·爱因斯坦和阿诺德·勋伯格在纽约卡内基音乐厅。
做为一名数学家，我发现勋伯格的十二音乐系统和阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论有着惊人的类似之处，就似乎音乐和物理学的典范构造同时发作了类似的合成。1905年，爱因斯坦给了以太致命的一击：没有以太，没有绝对静行的单一宇宙参照系；相反，每个看察者都有他或她本身的参照系，惯性参考系只在离看察者无限近的处所成立。人们不克不及不重视到它与勋伯格的无调性音乐的类似之处，在他的无调性音乐中，每一个音符都只与音列中的前一个音符有关。你能够称之为相对论音乐。
勋伯格努力于音乐打字机的设想；爱因斯坦创造了冰箱
勋伯格和爱因斯坦几乎是同时代的人，都出生在一个中产阶级犹太家庭，出生时间相隔不到五年。他们的母亲都喊波琳，都喜欢古典音乐，所以那两个孩子是在热爱音乐的家庭中熏陶长大的。他们的职业生活生计都是从底层员工起头的——勋伯格在维也纳当银行人员，爱因斯坦在伯尔尼的瑞士专利局当人员。在年轻的时候，他们都舍弃了传统的犹太教，但因为深受反犹太主义的鼓起和随之而来的大残杀的影响，他们在晚年才回到了犹太教。两人根本上都是自学成才的：勋伯格从未承受过正规的音乐教诲，而爱因斯坦(虽然他结业于苏黎世大学)则是通过自学19世纪伟大的物理学论文吸收常识的。
1933年纳粹掌权后，两人都移民到了美国。勋伯格立即往掉了他本来名字中的德语umlaut——Schonberg，而爱因斯坦不能不习惯他美式英语(在德语中读做“Einshtein”)。两人都热情地逃求着本身的喜好——勋伯格是一位画家和网球喜好者，爱因斯坦拉着他标记性的小提琴或者在他的小帆船上享受远足。他们还喜欢左右小玩意：勋伯格努力于音乐打字机的设想，而爱因斯坦和他的物理学家同事里奥·西拉德(Leo Szilard)创造了冰箱并申请了专利。在纳粹从开除德国大学所有犹太传授之后，两人都夜以继日地搀扶帮助流浪失所的学者在出亡国找到工做。勋伯格和爱因斯坦都没有再踏上欧洲的地盘(虽然勋伯格的遗体被安葬在他的故土维也纳)，他们都在76岁往世。
爱因斯坦和勋伯格的革命性思惟是在其他范畴发作打破性变化的布景下产生的，那些变化都发作在19世纪末20世纪初的时候。古斯塔夫·马勒首演了他的第一部交响曲《泰坦》(1889年)，由做曲家亲身批示。西格蒙德·弗洛伊德颁发了他的第一部重要著做《梦的解析》(1900)，巴勃罗·毕加索进进了他的“蓝色期间”(1901-1904)，马克斯·普朗克将一个很快能够彻底改动所有科学的新概念引进物理学：能量量子。假设那还不敷，德国伟大的数学家大卫•希尔伯特在世纪之交，挑战第二届国际数学家大会。他在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会提出了23个未处理的问题的处理计划，他认为那对数学的将来开展至关重要的——事实也证明如斯。
那些开展能否对爱因斯坦和勋伯格的思惟有任何影响还很难说，但它显示了那个新世界的几位演员积极地投身于音乐：爱因斯坦的小提琴；普朗克是一位多才多艺的钢琴家；诺贝尔奖得主、物理学家维尔纳•海森堡(Werner Heisenberg)在转向量子力学之前，曾认实考虑过处置音乐事业。
在毕达哥拉斯逃求将音乐和数学同一在一个框架时，也许他毕竟是对的。
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