导语
本文介绍“混沌”的概念并回忆它的汗青、纵看它的开展以及展看它的前景。混沌的概念能够逃溯到远古，而现代科学中的混沌理论则是从上世纪六十年代气象学家爱德华·洛伦茨在气候揣测研究中发现“蝴蝶效应”起头的。它履历了许多科学家特殊是数学家李天岩和詹姆斯·约克的“周期三意味着混沌”理论研究和生物学家罗伯特·梅对生态系统的复杂性研究。今天，混沌的科学理论日趋成熟，并在信息隐躲和流体混合等工程手艺中展现出有特色的利用潜力。
陈关荣 | 做者
邓一雪 | 编纂
各人都晓得“混沌”那个名词，在生活中它指杂乱无章的行为和现象，但在科学里它是一个十分纷歧般并且含义很深入的术语。
“混沌”，从字面上欠好测度其科学含义，但换一个说法“蝴蝶效应”就随便理解多了，说的是一只蝴蝶拍一下同党可能会引起一场龙卷风。
实有那么神异吗？当然不。但那个比方的寓意是清晰的：一个细小的初始改动可能会引起浩荡的后果。那方面各人体味就多了，不是有“差若毫厘，谬以千里”的说法么？那早已是孔子年代《礼记·经解》里的《易》中说的了，彰显中华民族文化哲理的源远流长、博大精深。
不外，“蝴蝶效应”来到现代科学范畴，却只是半个世纪之前的事。
一、“混沌”科学的发端
今天，“蝴蝶效应”被人们当做成语利用。它来自已故麻省理工学院（MIT）气象学传授爱德华·洛伦茨（Edward Norton Lorenz，1917 年5 月23 日— 2008 年4 月16 日，图1）。
图1 洛伦茨（ Edward N. Lorenz）
故事发作在1963年。一天，洛伦茨传授如常来到了办公室，用他推导出来的数学方程组做气候预告的数值仿实。其时，他方案把今天的仿实反复一遍，以包管计算成果准确无误。但是，新的仿实成果让他大食一惊，画出来的曲线与今天的笔录大相径庭：两条曲线从不异的初始点动身，在起初几周时间点上的预告彼此吻合得很好，但随后两者敏捷别离，大约两个月后便变得毫不相关了。咦，数学计算公式写错了？计算机法式抄错了？计算机坏了？他频频查抄后，发现那些都没有任何错谬。希罕呀，那可让他百思莫解了。
洛伦茨是个严谨认实的科学家。他频频核查、觅踪觅迹，最初发现了两次仿实过程之间的一个细小差别。昔时的计算机运算切确度只抵达小数点后6 位数字，因而他在今天的计算中输进了初始值0.506127。但今天他偷懒，输进0.506就算了。那不到千分之一的四舍五进没啥事吧？不！如今他发现本身错了，那影响其实很大。于是，在随后的几天里，洛伦茨一再验算了利用多种略微差别初始值的仿实，末于证明了他悟出的事理：因为那个气候揣测数学模子对初始值具有高度灵敏性，一个细小的初始误差在频频迭代计算之后变成浩荡的成果差别，招致了该模子预算将来气候行为的不成揣测性。图2阐了然洛伦茨其时的仿实成果：两条起始临近的曲线起头时并排向前挪动，但渐渐便各奔前程了。
图2 红色和蓝色是洛伦茨气候数学模子两个差别解的轨迹，黑点为初始值。
洛伦茨以此为题材颁发了一篇论文，指出：“两个形态之间不被察觉的细小区别可能最初演化为浩荡的差别……因而，假设在看察当前形态时不管有什么样的误差——在任何实在系统中那些误差是不成制止的——那么关于一个不太长远的将来霎时形态做出任何可承受的揣测都将是不成能的……十分持久的准确气候预告看来其实不存在。”昔时洛伦茨预算，准确的气候预告最多在两周时间之内仍是能够做到的，再长时间就不包管了。今天，因为有高速计算机和大数据撑持，那个时间段耽误了，不外也达不到三周。那方面各人都有体味：谁能说得清，明年的今天会是什么样的气候呢。
后来，为了向公家阐明那种特殊的现象，洛伦茨在1972 年把一篇科普文章取题为：“在巴西的一只蝴蝶拍打一下同党会在得克萨斯州引发一场龙卷风吗？”那里题意自明。从此之后，在各类各样的科学文献、文学做品和人们日常生活里便呈现了一个新成语：“蝴蝶效应”。与之响应的一套数学理论和物理阐明便构成了今天各人看到和听到的“混沌理论”，它描述了各类天然和人造系统中的“蝴蝶效应”即对初始前提高度灵敏的动态特征，以及由此衍生出来的许许多多生动复杂的改变和现象。
二、“混沌”科学的开展
洛伦茨关于大气改变的数学模子是由微分方程来描写的，在数学上喊做“持续时间系统”: ，此中x, y, z是变量。那个特殊的持续时间系统就是上面介绍洛伦茨做仿实时利用的数学模子，后人称之为洛伦茨系统。响应地，也有“离散时间系统”，由差分方程来描述。那些方程都长短线性的。
1975年，马里兰大学的数学家李天岩（Tien-Yien Li，1945-2020）和詹姆斯·约克（James A. Yorke，1941-）颁发了一篇离散时间系统的论文，题为“周期三意味着混沌”，初次利用“混沌”那个名词并以严厉的数学论证来描述了“蝴蝶效应”。接着，1976年，他们的老友、普林斯顿大学的生物学家罗伯特·梅（Robert M. May, 1936-2020）在《天然》杂志上颁发了一篇论文，做为对生态系统的描绘给出了一个貌似简单但行为复杂的离散混沌系统的例子，由名为 Logistic系统的差分方程模子来描述。
图3 约克-李天岩-梅（James A. Yorke，Tien-Yien Li，Robert M. May）
各人在中学都学过代数二项式，例如4x(1-x)，此中x是个变量，它导出了离散差分方程x[k+1]=4x[k](1-x[k])，此中 x[k]是x在离散时间点k上的取值，k=0, 1, 2…。那就是罗伯特·梅的例子，它可以清晰地表达“蝴蝶效应”，如图4所示。
图4 Logistic差分方程对初始前提的高度灵敏性
那个Logistic差分方程描述了许多离散混沌现象，此中最为有趣的就是，它有周期为3的解，从而如李天岩-约克的“周期三意味着混沌”论文所证，还有无限多个各类周期的解，因而它的行为表示得很“混沌”。简而言之，有“三”就会有“全数”。
各人也许会想起中国的老子（约公元前600-470年）在《道德经》四十二章中说的：“道生一，一生二，二生三，三生万物”，指从“无名道化”(零)起头，先有“混沌元气”(一)，然后有“阴阳二气”(二)，接着那“阴阳之和”(三)，便生出了“世间万物”。两者应该只是巧合，不外此中的哲理则是相通的。
至此，能够回纳一下“混沌”的概念和含义。粗略地说，“混沌”是良多天然和社会系统的一种不通俗的性态和特征，它最根本的特征是对初始前提的高度灵敏性，即“蝴蝶效应”。此外，它表示为部分活泼（不收敛）、全局有界（不发散）、非严厉周期（无限多个周期组份的复合）的运动形态。详细一点来说，混沌系统是部分不不变的，即不会收敛到一个处所然后就不动了；它又是全局不变的，即不会发散到无限远处而消逝了；它还在近乎周期却不是严厉周期地改变，好像一年四时循环往复但每年城市有一些差别那样。混沌形态的素质是确定性的但却貌似随机，就象气候预告那样是长时间不成揣测的。
三、“混沌”科学的利用
科学的使命是阐明天然世界，手艺的目标才是为人类社会办事。“混沌”次要是一门科学，显示天然界和人类社会中的某些内在法例，让我们愈加大白本身之外的事物开展改变的原因和过程，进而搀扶帮助我们往开展先辈手艺以改进世界为人类办事。和其它学科一样，“混沌”理论在演进的过程中也逐渐被操纵来开展一些有用的手艺。
比力随便理解的是流体混合和信息隐躲。无妨想象一下，要把两种差别的溶液足够平均地混合在一路，“混沌”的搅拌效果总比平均的搅拌要好，各人在日常生活中搅拌饮料就很有体味。至于信息隐躲，图5展现了一个简单例子，右边李兆良先生的书法图片通过“混沌”手艺打乱了以后成为右边的样子，本来的信息就很难辨认了。仆人本身晓得是如何处置的，当然能够复原，但其别人就无法把原图重构出来。
图5 “混沌”手艺处置前后的图片
此外，“混沌”理论在电子设备、机械振动、数据存储、生物医学等方面都还有一些利用，而且仍在开展过程之中。
四、“混沌”科学的远景
“混沌”科学的远景就像它自己一样“长时间不成揣测”。因为它特有的复杂性，对它的理论研究还需长时间的深进和妥帖，对它的利用研究还需要更多的测验考试和开辟。能够乐看等待的是，混沌科学做为复杂性科学的一个重要分收和构成部门将会为科学与手艺的总体开展做出本身不成或缺的奉献。
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21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是摸索复杂性的关键环节。在科学、工程中，混沌与非线性办法已经成为研究动态系统的次要手段，加深了对天气、生态、大脑、时髦病等诸多复杂系统问题的理解，并在湍流、加密、数据阐发以及生命科学中有普遍利用。在社会、贸易范畴，混沌理论在通信、交通、金融市场、疾病与信息传布等问题中亦有诸多启发和利用。跟着混沌现象的进一步系统研究和普遍利用，它正在从一套理论开展为一门科学。
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